חלופות ושילובים שימושיים במיוחד בכל כך הרבה יישומים - מתכנות מחשבים ועד תורת ההסתברות וכלה בגנטיקה.
אני אציג בפניכם את שני המושגים הללו זה לצד זה, כדי שתוכלו לראות עד כמה הם שימושיים.
ההבדל העיקרי בין שני המושגים הללו הוא סדר. בעזרת Permutations אתה מתמקד ברשימות של אלמנטים שבהם הסדר שלהם חשוב.
למשל, נולדתי בשנת 1977 . זה מספר 1 ואחריו מספר 9 , ואחריו מספר 7 , ואחריו מספר 7 . בסדר המסוים הזה.
אם אני משנה את ההזמנה ל -7917 במקום זאת, זו תהיה שנה אחרת לגמרי. לפיכך, הסדר חשוב .
לעומת זאת, עם שילובים , המוקד הוא על קבוצות של אלמנטים שהסדר לא חשוב בהם.
כמו כוס הקפה שלי הוא שילוב של קפה , סוכר ו מים . זה לא משנה באיזה סדר אני מוסיף מרכיבים אלה נמצאים. ייתכנו גם להיות מים , סוכר ו קפה , זה עדיין אותו לכוס קפה. לפיכך, הסדר זה לא משנה.
עכשיו בואו נסתכל מקרוב על המושגים הללו.
חלק 1: תמורות
תמורות היכן שמותר לחזור
דמיין שיש לך טלפון חדש. כאשר אתה מתחיל להשתמש בטלפון חדש זה, בשלב מסוים תתבקש להגדיר סיסמה.
על הסיסמה לכלול 4 ספרות. כל 4 ספרות. והם עשויים לחזור על עצמם.
מלכתחילה יש 10 ספרות בסך הכל. אלה הם: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. אז עבור הספרה הראשונה של הסיסמה שלך, יש לך 10 אפשרויות.
מכיוון שאתה עשוי להשתמש באותה ספרה שוב, מספר האפשרויות עבור הספרה השנייה של הסיסמה שלנו יהיה שוב 10 ! לפיכך, בבחירת שתיים מספריות הסיסמה עד כה, התמורות הן 10 פעמים 10, או 10 x 10 = 100 או 102 .
אותה חשיבה נוגעת לספרה השלישית של הסיסמה שלך. אתה יכול לבחור שוב מתוך אותן 10 אפשרויות. הפעם יהיו לך 10 פעמים 10 פעמים 10 , או 10 x 10 x 10 = 1,000 או 103 תמורות.
לבסוף, עבור הספרה הרביעית של הסיסמה ואותן 10 ספרות לבחירה, בסופו של דבר נקבע 10 פעמים 10 פעמים 10 פעמים 10 , או 10 x 10 x 10 x 10 = 10,000 או 104 תמורות.
כפי שבוודאי שמת לב, היו לך 4 אפשרויות לעשות והכפלת 10 ארבע פעמים (10 x 10 x 10 x 10) כדי להגיע למספר כולל של תמורות (10,000). אם היית צריך לבחור 3 ספרות לסיסמה שלך, היית מכפיל 10 שלוש פעמים. אם 7 , היית עושה את זה שבע פעמים, וכן הלאה.
אבל החיים הם לא רק סיסמאות עם ספרות לבחירה. מה אם יש לכם מסיבת יום הולדת ותצטרכו לבחור 5 בלונים צבעוניים מ -20 צבעים שונים?
מכיוון שיש לכם 20 צבעים שונים לבחירה ועשויים לבחור שוב באותו צבע, לכל בלון יש לכם 20 אפשרויות. הבלון הראשון הוא 20 , הבלון השני הוא 20 פעמים 20 , או 20 x 20 = 400 וכו '. עבור הבלון החמישי מקבלים תמורות 20 x 20 x 20 x 20 x 20 = 3,200,000 או 205 .
נסכם עם הכלל: כאשר מותר לענייני סדר וחזרה, אם n הוא מספר הדברים לבחירה (בלונים, ספרות וכו '), ואתם בוחרים ב- r מהם (5 בלונים למסיבה, 4 ספרות לסיסמא. וכו '), מספר התמורות יהיה שווה ל- P = nr .
תמורות שבהן חזרה אינה מותרת
לאחר מכן, נבחן את המקרה שבו חזרה אינה מותרת . כדוגמה, נסתכל על כוכבי הלכת של מערכת השמש שלנו.
כמה דרכים שונות תוכלו לארגן את 8 כוכבי הלכת הללו ? כוכבי הלכת הם: מרקורי , ונוס , כדור הארץ , מאדים , צדק , שבתאי , אורנוס ו נפטון . לאחר שבחרת, נניח, מרקורי אינך יכול לבחור בו שוב. לפיכך, עליכם לצמצם את מספר האפשרויות הזמינות בכל פעם שנבחר כדור הארץ.
לבחירה הראשונה יהיו 8 אפשרויות. הבחירה השנייה תהיה 8 מינוס 1 שווה 7 אפשרויות, ואז 6 , ואחריו 5 , ואחריו 4, עד שיש לנו 1 כוכב לכת שמאלה ברשימה.
בעקבות ההיגיון מהתרחיש הקודם, המספר הכולל של תמורות הוא: P = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40,320 .
במילים אחרות, זהו תוצר של מספר שלם 8 וכל המספרים השלמים החיוביים שמתחתיו. מוצר זה נקרא Factorial ומסומן בסימן קריאה, כך: 8!
מספר התמורות שווה ל- P = 8! או באופן כללי יותר P = n!
מה אם אתה רק צריך לארגן, למשל, 5 מתוך 8 כוכבי הלכת האלה במקום את כולם? אז אתה לוקח רק את 5 הצעדים הראשונים בשיטה שלנו. כלומר, P = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 = 6,720 יהיו כמה דרכים בהן תוכלו לסדר 5 כוכבי לכת מתוך 8 .
אבל למה לעצור כאן? מדוע לא ליישם את ההיגיון שלנו בכדי להגיע לנוסחה כללית יותר? כדי להפוך את הסימון הנ"ל לזכור לכל מספר אובייקטים, נשתמש בטריק. בשבר, הכפלת המונה והמכנה באותה המספר (למעט אפס), אינה משפיעה על אותו שבר. לכן:
מספר כוכבי הלכת לבחירה n = 8 , אתה בוחר r = 5 מהם. החלפת המספרים בנוסחה שלעיל נותנת לנו P = 8! / (8 - 5)! = 8! / 3! . זהה ל- 8 x 7 x 6 x 5 x 4 = 6,720 .
מכאן ניתן לגזור את התוצאה מדוגמה קודמת. שם סידרת את כל 8 מתוך 8 כוכבי הלכת הזמינים. באמצעות הנוסחה החדשה, P = 8! / (8 - 8)! = 8! / 0! . מכיוון ש- factoring של אפס מוסכם לשווה 1 , P = 8! / 1 = 8 !. או באופן כללי יותר:
P = n! / (n - n)! = n! / 0! = n! .
סימון אחד קצר ונוח שמשמש לעתים קרובות הוא: P (n, r) = n! / (n - r)!
חשוב לזכור נוסחאות. אך מה שחשוב יותר לפתרון בעיות בחיים האמיתיים הוא לדעת באילו נוסחאות להשתמש בכל סיטואציה. תרגול עוזר.
בוחן פתע:
הטורניר פועל ושש קבוצות מתחרות. המקום הראשון מקבל זהב והמקום השני מקבל מדליות כסף. כמה דרכים מובחנות ניתן להעניק מדליות לקבוצות אלה?
בחר תשובה אחת
30
360
720
15
שלח
הסבר: יש לכם 6 צוותים לבחירה. כך n = 6 . זהב וכסף יחד מעניקים לך 2 מדליות להענקת. לפיכך r = 2 . החלפת המספרים הללו בנוסחה שלך נותנת לנו P (6, 2) = 6! / (6 - 2)! = 6! / 4! = 6 x 5 = 30 .
חלק 2. שילובים
שילובים ללא חזרה
כדי להפוך את ההשוואה לבהירה יותר, בואו ונבחן מחדש את הדוגמה לבחירת הפלנטה שלנו. מה אם אתה רוצה לדעת רק אילו כוכבי לכת נבחרים ולא לפי סדר הופעתם?
שם היו לך 6,720 דרכים נפרדות לסדר 5 מתוך 8 כוכבי לכת. אבל מאז את סדר ההופעה אין לא משנה עכשיו, רב של דרכים אלה הם מיותרים . הם אותו הדבר עבורנו.
קבוצה של נוגה, כדור הארץ, מאדים, צדק, שבתאי הוא אותו לקבוצה כמו מאדים, צדק, נוגה, כדור הארץ, שבתאי ואת הקבוצה כמו שבתאי, מאדים, כדור הארץ, צדק, נוגה. אלה רק רצפים שונים של אותם 5 כוכבי לכת.
כמה קבוצות יש לך זהות? אם תבחר r כוכבים לכל קבוצה, תקבל r! קבוצות. עבור r = 5 , אתה מקבל r! = 5! = 120 קבוצות.
לפיכך, כדי לחסל את הקבוצות המיותרות זהות, אתה מחלק את מספר 6,720 התמורות המקוריות ב -5! . התוצאה היא 6,720 / 120 = 56 .
כדי להכליל, על מנת להגיע למספר השילובים , עליך להבין את כל התמורות ולחלק את כל היתירות .
שימוש בסימון קצר ונוח: C (n, r) = P (n, r) / r! = n! / (r! (n - r)!)
וזה מניח שסדר לא חשוב ואין חזרות (כלומר - יש רק צדק אחד לבחירה).
בואו ונבחן מחדש את דוגמת הטורניר:
הטורניר פועל ושש קבוצות מתחרות. המקום הראשון מקבל זהב והמקום השני מקבל מדליות כסף. כמה קבוצות של זוכי מדליות אפשריות? סדר הקבוצות לא משנה
בחר תשובה אחת
360
15
30
720
שלח
כמו בעבר, יש לך 6 קבוצות. לפיכך, n = 6 . ישנן שתי מדליות שהוענקו, לכן r = 2 . עם זאת, הפעם לא משנה מי זוכה בזהב ומי זוכה בכסף. זהב קבוצתי וכסף קבוצתי זהה לכסף קבוצתי וזהב קבוצתי. החלפת המספרים הללו בנוסחה שלך נותנת לנו C (6, 2) = 6! / (2! (6 - 2)!) = 6! / 2! 4! = 15 .
שילובים עם חזרה
להשלמת מאמר זה, יש מקרה אחד שדורש התייחסות מיוחדת. עד כה בשילובים שלנו הנחנו שאין שום חזרה. לא היו שני פריטים זהים.
מה אם אנחנו יכולים לקבל חזרות? מה אם, כמו בדוגמה הקודמת שלנו, נוכל לבחור ביותר מבלון אחד באותו צבע? אם מספר הבלונים לבחירה הוא n ואנחנו בוחרים ב- r מהם תוך מתן אפשרות לאותם צבעים ומתעלמים מסדר הסידור, בסופו של דבר (n + r - 1)! / (r! (n - 1)!) שילובים .
אז לסיכום, הנה טבלה בה תוכלו להשתמש כדי להפנות את המושגים הללו ואת הנוסחאות שלהם.
אני מקווה שמאמר זה עזר לך להבין טוב יותר את שני המושגים המתמטיים החשובים האלה. תודה שקראת.