כיצד ליישם 8 אלגוריתמים חיוניים של גרפים ב- JavaScript

במאמר זה, אני אטמיע 8 אלגוריתמים של גרפים הבוחנים את בעיות החיפוש והקומבינטוריה (מעברים, נתיב קצר ביותר והתאמה) של גרפים ב- JavaScript.

הבעיות מושאלות מהספר, אלמנטים של ראיונות תכנות בג'אווה. הפתרונות בספר מקודדים ב- Java, Python או C ++ תלוי באיזו גרסת הספר בבעלותך.

למרות שההיגיון מאחורי דוגמנות הבעיות הוא אגנוסטי בשפה, קטעי הקוד שאני מספק במאמר זה משתמשים בכמה אזהרות JavaScript.

כל פתרון לכל בעיה מחולק לשלושה חלקים: סקירה כללית של הפתרון, ה- pseudocode, ולבסוף הקוד בפועל ב- JavaScript.

כדי לבדוק את הקוד ולראות שהוא עושה את מה שהוא אמור לעשות, אתה יכול להשתמש בכלי ה- Dev של Chrome כדי להריץ את קטעי הדפדפן עצמו או להשתמש ב- NodeJS כדי להריץ אותם משורת הפקודה.

יישום גרף

2 הייצוגים הנפוצים ביותר של גרפים הם רשימת הצמידות ומטריצת הצמידות.

הבעיות שאפתור הן עבור גרפים דלילים (מעט קצוות), ופעולות הקודקוד בגישת רשימת הצמידות נמשכות קבוע (הוספת קודקוד, O (1)) וזמן ליניארי (מחיקת קודקוד, O (V + E )). אז אני אשמור על יישום זה לרוב.

בואו נדפוק את זה עם יישום גרף פשוט לא מכוון ולא משוקלל באמצעות רשימת סמיכות . נשמור על אובייקט (adjacencyList) שיכיל את כל הקודקודים בגרף שלנו כמפתחות. הערכים יהיו מערך של כל הקודקודים הסמוכים. בדוגמה שלהלן, קודקוד 1 מחובר לקודקודים 2 ו -4, ומכאן adjacencyList: {1: [2, 4]} וכן הלאה עבור הקודקודים האחרים.

לבניית הגרף יש לנו שתי פונקציות: addVertex ו- addEdge . addVertex משמש להוספת קודקוד לרשימה. addEdge משמש לחיבור הקודקודים על ידי הוספת הקודקודים השכנים למערך המקור וגם למערך היעד מכיוון שזהו גרף לא מכוון. כדי ליצור גרף מכוון, אנו יכולים פשוט להסיר את השורות 14–16 ו- 18 בקוד שלמטה.

לפני הסרת קודקוד, עלינו לחזור דרך מערך הקודקודים הסמוכים ולהסיר את כל החיבורים האפשריים לקודקוד.

class Graph { constructor() { this.adjacencyList = {}; } addVertex(vertex) { if (!this.adjacencyList[vertex]) { this.adjacencyList[vertex] = []; } } addEdge(source, destination) { if (!this.adjacencyList[source]) { this.addVertex(source); } if (!this.adjacencyList[destination]) { this.addVertex(destination); } this.adjacencyList[source].push(destination); this.adjacencyList[destination].push(source); } removeEdge(source, destination) { this.adjacencyList[source] = this.adjacencyList[source].filter(vertex => vertex !== destination); this.adjacencyList[destination] = this.adjacencyList[destination].filter(vertex => vertex !== source); } removeVertex(vertex) { while (this.adjacencyList[vertex]) { const adjacentVertex = this.adjacencyList[vertex].pop(); this.removeEdge(vertex, adjacentVertex); } delete this.adjacencyList[vertex]; } }

מעבר גרפים

בהתבסס על יישום הגרפים שלנו בסעיף הקודם, נבצע את מעברי הגרפים: רוחב חיפוש ראשון ועומק חיפוש ראשון.

רוחב החיפוש הראשון

BFS מבקר בצמתים ברמה אחת בכל פעם . כדי למנוע ביקור באותו צומת יותר מפעם אחת, נשמור על אובייקט שביקר .

מכיוון שעלינו לעבד את הצמתים בצורה ראשונה ראשונה, תור הוא מתמודד טוב לשימוש במבנה הנתונים. מורכבות הזמן היא O (V + E).

function BFS Initialize an empty queue, empty 'result' array & a 'visited' map Add the starting vertex to the queue & visited map While Queue is not empty: - Dequeue and store current vertex - Push current vertex to result array - Iterate through current vertex's adjacency list: - For each adjacent vertex, if vertex is unvisited: - Add vertex to visited map - Enqueue vertex Return result array

עומק חיפוש ראשון

DFS מבקר בעומק הצמתים. מכיוון שעלינו לעבד את הצמתים בצורה אחרונה, נשתמש בערימה .

החל מקודקוד, נדחוף את הקודקודים השכנים למחסנית שלנו. בכל פעם שמקפיצים קודקוד, הוא מסומן ביקור באובייקט שביקרנו בו. קודקודיו הסמוכים נדחפים אל הערימה. מכיוון שאנחנו תמיד מקפצים קודקוד חדש סמוך, האלגוריתם שלנו תמיד יחקור רמה חדשה .

אנו יכולים גם להשתמש בשיחות הערימה הפנימיות ליישום DFS באופן רקורסיבי. ההיגיון זהה.

מורכבות הזמן זהה ל- BFS, O (V + E).

function DFS Initialize an empty stack, empty 'result' array & a 'visited' map Add the starting vertex to the stack & visited map While Stack is not empty: - Pop and store current vertex - Push current vertex to result array - Iterate through current vertex's adjacency list: - For each adjacent vertex, if vertex is unvisited: - Add vertex to visited map - Push vertex to stack Return result array
Graph.prototype.bfs = function(start) { const queue = [start]; const result = []; const visited = {}; visited[start] = true; let currentVertex; while (queue.length) { currentVertex = queue.shift(); result.push(currentVertex); this.adjacencyList[currentVertex].forEach(neighbor => { if (!visited[neighbor]) { visited[neighbor] = true; queue.push(neighbor); } }); } return result; } Graph.prototype.dfsRecursive = function(start) { const result = []; const visited = {}; const adjacencyList = this.adjacencyList; (function dfs(vertex){ if (!vertex) return null; visited[vertex] = true; result.push(vertex); adjacencyList[vertex].forEach(neighbor => { if (!visited[neighbor]) { return dfs(neighbor); } }) })(start); return result; } Graph.prototype.dfsIterative = function(start) { const result = []; const stack = [start]; const visited = {}; visited[start] = true; let currentVertex; while (stack.length) { currentVertex = stack.pop(); result.push(currentVertex); this.adjacencyList[currentVertex].forEach(neighbor => { if (!visited[neighbor]) { visited[neighbor] = true; stack.push(neighbor); } }); } return result; }

חפש במבוך

הצהרת בעיה:

בהינתן מערך דו-ממדי של כניסות בשחור לבן המייצג מבוך עם נקודות כניסה ויציאה ייעודיות, מצא נתיב מהכניסה ליציאה, אם קיים. - עזיז, עדנאן ואח '. אלמנטים של ראיונות תכנות

נציג את הערכים הלבנים עם 0 וערכים שחורים עם 1. הערכים הלבנים מייצגים שטחים פתוחים וקירות הכניסה השחורים. הכניסה ונקודות היציאה מיוצגות על ידי מערך, המדד 0 והמדד הראשון הממלאים במדדי השורה והעמודה בהתאמה.

פִּתָרוֹן:

  • כדי לעבור למיקום אחר, אנו מקודדים את ארבע התנועות האפשריות במערך הכיוונים (מימין, למטה, לשמאל ולמעלה; ללא מהלכים אלכסוניים):
[ [0,1], [1,0], [0,-1], [-1,0] ]
  • כדי לעקוב אחר התאים שכבר ביקרנו בהם, נחליף את הערכים הלבנים ( 0 ) לערכים שחורים ( 1 ). אנחנו בעצם משתמשים ב- DFS רקורסיבית כדי לחצות את המבוך. המקרה הבסיסי, שיסיים את הרקורסיה, הוא או שהגענו לנקודת היציאה ונחזור נכון או שביקרנו בכל כניסה לבנה ומחזירים כוזבים .
  • דבר חשוב נוסף שיש לעקוב אחריו הוא להבטיח שאנחנו נמצאים בגבולות המבוך כל הזמן ושאנחנו ממשיכים רק אם אנחנו נמצאים בכניסה לבנה . פונקצית isFeasible תדאג כי.
  • מורכבות זמן: O (V + E)

פסאוד-קוד:

function hasPath Start at the entry point While exit point has not been reached 1. Move to the top cell 2. Check if position is feasible (white cell & within boundary) 3. Mark cell as visited (turn it into a black cell) 4. Repeat steps 1-3 for the other 3 directions
var hasPath = function(maze, start, destination) { maze[start[0]][start[1]] = 1; return searchMazeHelper(maze, start, destination); }; function searchMazeHelper(maze, current, end) { // dfs if (current[0] == end[0] && current[1] == end[1]) { return true; } let neighborIndices, neighbor; // Indices: 0->top,1->right, 2->bottom, 3->left let directions = [ [0,1] , [1,0] , [0,-1] , [-1,0] ]; for (const direction of directions) { neighborIndices = [current[0]+direction[0], current[1]+direction[1]]; if (isFeasible(maze, neighborIndices)) { maze[neighborIndices[0]][neighborIndices[1]] = 1; if (searchMazeHelper(maze, neighborIndices, end)) { return true; } } } return false; } function isFeasible(maze, indices) { let x = indices[0], y = indices[1]; return x >= 0 && x = 0 && y < maze[x].length && maze[x][y] === 0; } var maze = [[0,0,1,0,0],[0,0,0,0,0],[0,0,0,1,0],[1,1,0,1,1],[0,0,0,0,0]] hasPath(maze, [0,4], [3,2]);

צייר מטריצה ​​בוליאנית

הצהרת בעיה:

יישם שגרה שלוקחת מערך בוליאני n X m יחד עם ערך (x, y) ומפנה את צבע האזור המשויך ל- (x, y). - עזיז, עדנאן ואח '. אלמנטים של ראיונות תכנות

שני הצבעים יוצגו על ידי 0 ו- 1.

בדוגמה למטה, אנו מתחילים במרכז המערך ([1,1]). שים לב שממיקום זה אנו יכולים להגיע רק למטריצה ​​המשולשת העליונה והשמאלית. לא ניתן להגיע למיקום הימני והנמוך ביותר ([2,2]). לפיכך, בסוף התהליך, זה הצבע היחיד שלא הופך.

פִּתָרוֹן:

  • כמו בשאלה הקודמת, נקודד מערך כדי להגדיר את 4 המהלכים האפשריים.
  • נשתמש ב- BFS כדי לחצות את הגרף.
  • נשנה מעט את הפונקציה isFeasible. זה עדיין יבדוק אם המיקום החדש נמצא בגבולות המטריצה. הדרישה הנוספת היא שהמיקום החדש יהיה צבעוני כמו העמדה הקודמת. אם המיקום החדש מתאים לדרישות, צבעו הופך.
  • מורכבות זמן: O (mn)

פסאוד-קוד:

function flipColor Start at the passed coordinates and store the color Initialize queue Add starting position to queue While Queue is not empty: - Dequeue and store current position - Move to the top cell 1. Check if cell is feasible 2. If feasible, - Flip color - Enqueue cell 3. Repeat steps 1-2 for the other 3 directions
function flipColor(image, x, y) { let directions = [ [0,1] , [1,0] , [0,-1] , [-1,0] ]; let color = image[x][y]; let queue = []; image[x][y] = Number(!color); queue.push([x,y]); let currentPosition, neighbor; while (queue.length) { currentPosition = queue.shift(); for (const direction of directions) { neighbor = [currentPosition[0]+direction[0], currentPosition[1]+direction[1]]; if (isFeasible(image, neighbor, color)) { image[neighbor[0]][neighbor[1]] = Number(!color); queue.push([neighbor[0], neighbor[1]]); } } } return image; } function isFeasible(image, indices, color) { let x = indices[0], y = indices[1]; return x >= 0 && x = 0 && y < image[x].length && image[x][y] == color; } var image = [[1,1,1],[1,1,0],[1,0,1]]; flipColor(image,1,1);

חישוב אזורים סגורים

הצהרת בעיה:

תן ל- A להיות מערך דו-ממדי שערכיו הם W או B. כתוב תוכנית שלוקחת A, ומחליף את כל ה- Ws שלא יכולים להגיע לגבול ב- B. - Aziz, Adnan, et al. אלמנטים של ראיונות תכנות

פִּתָרוֹן:

  • במקום לחזור על כל הערכים כדי למצוא את ערכי ה- W הסגורים, כדאי יותר להתחיל עם ערכי הגבול W , לחצות את הגרף ולסמן את ערכי ה- W המחוברים . מובטח שהערכים המסומנים הללו לא ייסגרו מכיוון שהם מחוברים לערך W בגבול הלוח. עיבוד מקדים זה הוא בעצם ההשלמה של מה שתוכנית צריכה להשיג.
  • לאחר מכן, חוזר על עצמו דרך שוב ואת מסומנות ערכי W (אשר יהיו אלו אשר מצורפים) מוחלפים לתוך ערכי B .
  • אנו נעקוב אחר ערכי ה- W המסומנים והלא מסומנים באמצעות מערך בוליאני באותו המידה כמו A. ערך מסומן יוגדר כ- true.
  • מורכבות זמן: O (mn)

פסאוד-קוד:

function fillSurroundedRegions 1. Initialize a 'visited' array of same length as the input array pre-filled with 'false' values 2. Start at the boundary entries 3. If the boundary entry is a W entry and unmarked: Call markBoundaryRegion function 4. Iterate through A and change the unvisited W entry to B function markBoundaryRegion Start with a boundary W entry Traverse the grid using BFS Mark the feasible entries as true
function fillSurroundedRegions(board) { if (!board.length) { return; } const numRows = board.length, numCols = board[0].length; let visited = []; for (let i=0; i
    

Deadlock Detection (Cycle In Directed Graph)

Problem Statement:

One deadlock detection algorithm makes use of a “wait-for” graph to track which other processes a process is currently blocking on. In a wait-for graph, processes are represented as nodes, and an edge from process P to 0 implies 0 is holding a resource that P needs and thus P is waiting for 0 to release its lock on that resource. A cycle in this graph implies the possibility of a deadlock. This motivates the following problem.

Write a program that takes as input a directed graph and checks if the graph contains a cycle. – Aziz, Adnan, et al. Elements of Programming Interviews

In the wait-for graph above, our deadlock detection program will detect at least one cycle and return true.

For this algorithm, we’ll use a slightly different implementation of the directed graph to explore other data structures. We are still implementing it using the adjacency list but instead of an object (map), we’ll store the vertices in an array.

The processes will be modeled as vertices starting with the 0th process. The dependency between the processes will be modeled as edges between the vertices. The edges (adjacent vertices) will be stored in a Linked List, in turn stored at the index that corresponds to the process number.

class Node { constructor(data) { this.data = data; this.next = null; } } class LinkedList { constructor() { this.head = null; } insertAtHead(data) { let temp = new Node(data); temp.next = this.head; this.head = temp; return this; } getHead() { return this.head; } } class Graph { constructor(vertices) { this.vertices = vertices; this.list = []; for (let i=0; i
     

Solution:

  • Every vertex will be assigned 3 different colors: white, gray and black. Initially all vertices will be colored white. When a vertex is being processed, it will be colored gray and after processing black.
  • Use Depth First Search to traverse the graph.
  • If there is an edge from a gray vertex to another gray vertex, we’ve discovered a back edge (a self-loop or an edge that connects to one of its ancestors), hence a cycle is detected.
  • Time Complexity: O(V+E)

Pseudocode:

function isDeadlocked Color all vertices white Run DFS on the vertices 1. Mark current node Gray 2. If adjacent vertex is Gray, return true 3. Mark current node Black Return false
const Colors = { WHITE: 'white', GRAY: 'gray', BLACK: 'black' } Object.freeze(Colors); function isDeadlocked(g) { let color = []; for (let i=0; i
      

Clone Graph

Problem Statement:

Consider a vertex type for a directed graph in which there are two fields: an integer label and a list of references to other vertices. Design an algorithm that takes a reference to a vertex u, and creates a copy of the graph on the vertices reachable from u. Return the copy of u. – Aziz, Adnan, et al. Elements of Programming Interviews

Solution:

  • Maintain a map that maps the original vertex to its counterpart. Copy over the edges.
  • Use BFS to visit the adjacent vertices (edges).
  • Time Complexity: O(n), where n is the total number of nodes.

Pseudocode:

function cloneGraph Initialize an empty map Run BFS Add original vertex as key and clone as value to map Copy over edges if vertices exist in map Return clone
class GraphVertex { constructor(value) { this.value = value; this.edges = []; } } function cloneGraph(g) { if (g == null) { return null; } let vertexMap = {}; let queue = [g]; vertexMap[g] = new GraphVertex(g.value); while (queue.length) { let currentVertex = queue.shift(); currentVertex.edges.forEach(v => { if (!vertexMap[v]) { vertexMap[v] = new GraphVertex(v.value); queue.push(v); } vertexMap[currentVertex].edges.push(vertexMap[v]); }); } return vertexMap[g]; } let n1 = new GraphVertex(1); let n2 = new GraphVertex(2); let n3 = new GraphVertex(3); let n4 = new GraphVertex(4); n1.edges.push(n2, n4); n2.edges.push(n1, n3); n3.edges.push(n2, n4); n4.edges.push(n1, n3); cloneGraph(n1);

Making Wired Connections

Problem Statement:

Design an algorithm that takes a set of pins and a set of wires connecting pairs of pins, and determines if it is possible to place some pins on the left half of a PCB, and the remainder on the right half, such that each wire is between left and right halves. Return such a division, if one exists. – Aziz, Adnan, et al. Elements of Programming Interviews

Solution:

  • Model the set as a graph. The pins are represented by the vertices and the wires connecting them are the edges. We’ll implement the graph using an edge list.

The pairing described in the problem statement is possible only if the vertices (pins) can be divided into “2 independent sets, U and V such that every edge (u,v) either connects a vertex from U to V or a vertex from V to U.” (Source) Such a graph is known as a Bipartite graph.

To check whether the graph is bipartite, we’ll use the graph coloring technique. Since we need two sets of pins, we have to check if the graph is 2-colorable (which we’ll represent as 0 and 1).

Initially, all vertices are uncolored (-1). If adjacent vertices are assigned the same colors, then the graph is not bipartite. It is not possible to assign two colors alternately to a graph with an odd length cycle using 2 colors only, so we can greedily color the graph.

Extra step: We will handle the case of a graph that is not connected. The outer for loop takes care of that by iterating over all the vertices.

  • Time Complexity: O(V+E)

Pseudocode:

function isBipartite 1. Initialize an array to store uncolored vertices 2. Iterate through all vertices one by one 3. Assign one color (0) to the source vertex 4. Use DFS to reach the adjacent vertices 5. Assign the neighbors a different color (1 - current color) 6. Repeat steps 3 to 5 as long as it satisfies the two-colored constraint 7. If a neighbor has the same color as the current vertex, break the loop and return false
function isBipartite(graph) { let color = []; for (let i=0; i
       

Transform one string to another

Problem Statement:

Given a dictionary D and two strings s and f, write a program to determine if s produces t. Assume that all characters are lowercase alphabets. If s does produce f, output the length of a shortest production sequence; otherwise, output -1. – Aziz, Adnan, et al. Elements of Programming Interviews

For example, if the dictionary D is ["hot", "dot", "dog", "lot", "log", "cog"], s is "hit" and t is "cog", the length of the shortest production sequence is 5.

"hit" -> "hot" -> "dot" -> "dog" -> "cog"

Solution:

  • Represent the strings as vertices in an undirected, unweighted graph, with an edge between 2 vertices if the corresponding strings differ in one character at most. We'll implement a function (compareStrings) that calculates the difference in characters between two strings.
  • Piggybacking off the previous example, the vertices in our graph will be
{hit, hot, dot, dog, lot, log, cog}
  • The edges represented by the adjacency list approach we discussed in section 0. Graph Implementation, will be:
{ "hit": ["hot"], "hot": ["dot", "lot"], "dot": ["hot", "dog", "lot"], "dog": ["dot", "lot", "cog"], "lot": ["hot", "dot", "log"], "log": ["dog", "lot", "cog"], "cog": ["dog", "log"] }
  • Once we finish building the graph, the problem boils down to finding the shortest path from a start node to a finish node. This can be naturally computed using Breadth First Search.
  • Time Complexity: O(M x M x N), where M is the length of each word and N is the total number of words in the dictionary.

Pseudocode:

function compareStrings Compare two strings char by char Return how many chars differ function transformString 1. Build graph using compareStrings function. Add edges if and only if the two strings differ by 1 character 2. Run BFS and increment length 3. Return length of production sequence
function transformString(beginWord, endWord, wordList) { let graph = buildGraph(wordList, beginWord); if (!graph.has(endWord)) return 0; let queue = [beginWord]; let visited = {}; visited[beginWord] = true; let count = 1; while (queue.length) { let size = queue.length; for (let i=0; i { if (!visited[neighbor]) { queue.push(neighbor); visited[neighbor] = true; } }) } count++; } return 0; }; function compareStrings (str1, str2) { let diff = 0; for (let i=0; i { graph.set(word, []); wordList.forEach( (nextWord) => { if (compareStrings(word, nextWord) == 1) { graph.get(word).push(nextWord); } }) }) if (!graph.has(beginWord)) { graph.set(beginWord, []); wordList.forEach( (nextWord) => { if (compareStrings(beginWord, nextWord) == 1) { graph.get(beginWord).push(nextWord); } }) } return graph; }

Where to go from here?

Hopefully, by the end of this article, you have realized that the most challenging part in graph problems is identifying how to model the problems as graphs. From there, you can use/modify the two graph traversals to get the expected output.

Other graph algorithms that are nice to have in your toolkit are:

  • Topological Ordering
  • Shortest Path Algorithms (Dijkstra and Floyd Warshall)
  • Minimum Spanning Trees Algorithms (Prim and Kruskal)

If you found this article helpful, consider buying me a coffee. It will keep me awake when I work on a video tutorial of this article :)                                        

References:

Aziz, Adnan, et al. Elements of Programming Interviews. 2nd ed., CreateSpace Independent Publishing Platform, 2012.